"Στοιχεία" Γεωμετρίας του Ευκλείδη, Βιβλίο Β, πρόταση 5

Ένα από τα παλαιότερα και πιο πλήρη διαγράμματα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Γεωμετρίας του Ευκλέιδη έχει βρεθεί σε θραύσμα παπύρου, που σήμερα βρίσκεται στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια.

Ο πάπυρος είναι ένας από τα "αξιόλογα σκουπίδια" που βρέθηκαν στην "χωματερή" της πόλεως Οξυρύγχου, νότια του Φαγιούμ στην Αίγυπτο, τα έτη 1896-1897 από τους διάσημους αιγυπτιολόγους Bernard Grenfell και Arthur Surridge Hunt .

Οι πάπυροι βρέθηκαν μέσα σε τάφους ή μέσα μεγάλους αποθέτες σκουπιδιών και διασώθηκαν επειδή περικλείονταν από απορρίμματα που σιγά σιγά έπαιρναν αρκετό υψος, με αποτέλεσμα...
το περιεχόμενο τους να μην προσβάλλεται από την επίδραση της υγρασίας που δημιουργούσαν οι ετήσιες πλημμύρες και η άρδευση. Η ξηρασία του κλίματος συνέτεινε και αυτή να μην παθαίνουν οι πάπυροι άλλες ζημιές.

Ένα μέρος των παπύρων σώθηκε εξαιτίας της ταφικής συνήθειας των Αιγυπτίων να δημιουργούν για τις μούμιες περιβλήματα που κατασκεύαζαν από στρώματα παπύρου κολλημένα το ένα πάνω στο άλλο, κάτι παρόμοιο περίπου με το σημερινό πεπιεσμένο χαρτί, και πιθανόν για το σκοπό αυτόν αγόραζαν μεγάλες ποσότητες άχρηστων παπύρων. Πολλοί από αυτούς τους παπύρους προέρχονταν από κατεστραμμένα χειρόγραφα, που δεν τα χρησιμοποιούσαν πιά οι κάτοχοι τους.

Στο απόσπασμα αυτό μπορείτε να διαβάσετε την Πρόσταση 5 (ε΄) του δεύτερου (Β΄) βιβλίου των Στοιχείων, που μπορεί να ερμηνευθεί σε σύγχρονους όρους ως γεωμετρική χάραξη μιας αλγεβρικής ταυτότητας - εν προκειμένω, ότι η αβ + (α-β) 2 / 4 = (α + β) 2/4




Το κείμενο γράφει:

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕ[ΝΩ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩ….

_________

Έ ΕΑΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

ΤΜΗΘΗ ΕΙΣ ΙΣΑ ΚΑΙ ΑΝ __________

ΙΣΑ ΤΟ ΥΠΟ ΤΩΝ ΑΝΙ _________

ΣΩΝ ΤΗΣ ΟΛΗΣ ΤΜΗΜ[ΑΤ]ΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΝ

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΝ ΜΕΤΑ Τ[Ο]Υ ΑΠΟ ΤΗΣ ΜΕΤΟΞΥ

ΤΩΝ ΤΟΜΩΝ ΤΕΤ[ΡΑ]ΓΩΝΟΥ ΙΣΟΝ ΕΣΤΙΝ

ΤΩ ΑΠΟ ΤΗΣ ΗΜΙΣΕΙ

ΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ


Ε΄ Εάν ευθεία γραμμή

τμηθή εις ίσα και άν-

ισα, το υπό των αν-

ίσων της όλης τμημάτων περιεχόμενον

ορθογώνιον μετά του από της μετοξύ [ορθώς μεταξύ]

των τομών τετραγώνου ίσον εστί

τω από της ημισεί-

ας τετραγώνου [ορθώς τετραγώνω]


...δηλαδή: Εάν ευθεία γραμμή τμηθεί σε ίσα και άνισα [τμήματα], [τότε] το ορθογώνιο που περιέχεται από των ανίσων [τμημάτων] του συνόλου [της ευθείας γραμμής] μαζί με το τετράγωνο [που βρίσκεται] μεταξύ των τομών [της ευθείας γραμμής] είναι ίσο με το τετράγωνο στο μισό (της ευθείας γραμμής).

Να σημειωθεί ότι το απόσπασμα "...περιεχομένω ορθογωνίω..." στην αρχή του κειμένου αφορά προηγούμενη πρόταση.